벡터 내적(vector dot product / inner product)

벡터의 내적은 수학뿐만 아니라 물리에서도 아주 중요하게 생각하는 개념이다.

벡터의 내적이 벡터의 곱셈과 같다고 생각해도 된다.

벡터의 곱셈에는 크게 2가지가 있다.

1) 외적 : 크기와 방향을 갖는 벡터

2) 내적 : 스칼라(실수)

벡터 내적의 정의

\(\vec{OA}= \vec{a}\) 

\(\vec{OB}= \vec{b}\)   

\(0 \leq \theta \leq \pi \)

\(\theta\)(세타)는 A와 B의 시작점을 O으로 일치 시켜놓은 상태에서 이루는 각을 의미한다.

\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)는 벡터의 내적을 의미한다. 벡터의 내적은 inner product 또는 dot product라고 부른다. 벡터의 내적은 \(\cdot\)을 사용한다.

외적에서는 \(\times\)를 사용한다. 그리고 outer product 또는 cross product라고 부른다.

벡터 내적의 정의

\(\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}|\times|\vec{b}|\times\cos\theta\)    \((0\leq\theta\leq\pi)\)

\(|\vec{a}|\times|\vec{b}|\) 식에서 \(\cdot\)을 사용하지 않고 \(\times\)를 사용한 이유는 이 것이 내적이 아니라 단순한 곱셉을 의미하기 때문이다. \(|\vec{a}|\)는 \(\vec{a}\)의 크기를 의미한다.

벡터에서는 두가지 식을 도출할 수 있다.

i) \(\vec{a}=0\) 또는 \(\vec{b}=0\) 일 때, \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)

ii) \(\vec{a}\cdot\vec{a} = |\vec{a}|\times|\vec{a}|\times\cos0=|\vec{a}|^2\)

\(\vec{a}\cdot\vec{a}\)는 방향이 같기 때문에 각도가 0이다. 또한 \(\cos0=1\)이라는 것도 알고 있어야 한다.

벡터의 내적을 구하는 또하나의 공식은 아래와 같다.

\((a_1, a_2)=(4,3)\)

\((b_1, b_2)=(6,0)\)

\((a_1\times b_1)+(a_2\times b_2)\)

\(=(4\times6)+(3\times 0)=24\)

Reference

https://youtu.be/IOf1o72aKDc?list=PLXJ3W1lEGK8XMoCn8HVySy5DrL6rfDXTx

http://mrw0119.tistory.com/12